Закон Хлейда
Решение сложной задачи поручайте ленивому сотруднику — он найдёт более лёгкий путь.
Параллелограмм из произвольного четырёхугольника
Нарисуйте произвольный четырёхсторонний многоугольник. Любой формы. Со сторонами любой длины. Теперь отметьте на каждой стороне её середину. Соедините средние точки смежных сторон исходного многоугольника между собой. Какую фигуру вы будете получать каждый раз?
Каждый раз вы будете получать параллелограмм. Очевидно, что четыре стороны дадут четыре новых вершины и новая фигура тоже будет четырёхугольником. Но почему противоположные стороны окажутся параллельными и одинаковой длины?
Сразу скажем, что большинству покажется что решения этой задачи в общем виде нет. Докажем, что это не так, пойдя вслед за явным различием формы возможных четырёхугольников: легко увидеть, что они могут быть выпуклыми или нет. Выпуклость в этом случае понимается сугубо геометрически как геометрическое место вершин по отношению к диагонали. Если для обеих диагоналей оставшаяся пара вершин находится по разные стороны от условной прямой-диагонали, то фигура — выпуклая. Если хоть для одной из диагоналей обе оставшиеся вершины окажутся по одну сторону от неё, то фигура не выпуклая.
В силу этого формальное доказательство разбивается на два случая.
- Выпуклый четырёхугольник. Рассмотрим любую из имеющихся диагоналей, которая разбивает четырёхугольник на два треугольника с общим основанием. Внутри каждого из треугольников по условию задачи мы соединяем середины сторон отличных от основания, то есть строим среднюю линию треугольника, которая согласно теореме с этим-же названием будет параллельна третьей стороне, то есть нашему основанию и длина средней линии равна половине длины основания. Так как средние линии обоих треугольников параллельны одной и той-же диагонали–основанию, то они параллельны друг другу. А так как их длины равны половине одного и того-же отрезка, то и их длины равны. Проведя такое-же рассуждение для второй диагонали четырёхугольника, мы получим что и вторая пара средних линий взаимно параллельны и имеют одинаковую длину. Тем самым мы получаем новый четырёхугольник, в котором противоположные стороны параллельны и одинаковой длины, что соответствует определению параллелограмма. Тем самым доказательство для первого случая закончено.
- Невыпуклый четырёхугольник. Легко убедиться, что невыпуклость произвольного четырёхугольника наблюдается по отношению только к одной «диагонали». Для второй «диагонали» оставшаяся пара вершин находится по разные стороны от неё и проведя рассуждение аналогичное приведённому выше, получим что та пара средних линий параллельна и имеет одинаковую длину.
Значит доказательство надо продолжить для первой диагонали, по отношению к которой мы снова имеем два треугольника с общим основанием, но один находится «внутри» другого. В каждом из этих треугольников средние линии снова параллельны общему основанию и имеют половину его (основания) длины. То есть мы опять получаем параллелограмм. Единственная формальная разница в том, что лингвистически одну пару сторон неверно называть «противоположными». Но так как они не совпадают, то этого достаточно для получения двух пар «противоположных» сторон будущего параллелограмма.
Тем самым, хотя внешне мы рассматривали разные случаи, сама логика доказательства параллельности и равной длины «противоположных» сторон одинакова.
Стол на трёх ножках
Существует мнение, что стол на трёх ногах никогда не качается, даже если ножки его неравной длины. Верно ли это?
Можно, конечно, провести натурный эксперимент испортив один стол и убедится, что он не качается. Но всегда найдётся сомневающийся, который будет утверждать, что это Вы «случайно» так укоротили ножки, что стол остался устойчивым. Но с точки зрения аналитической геометрии всё семейство параллельных плоскостей описывается одним и тем-же перпендикулярным к поверхности вектором. Трёхмерное пространство, три координаты вектора перпендикуляра в качестве неизвестных. И три несовпадающих (различных) точки в качестве ограничений. Получаем невырожденную систему линейных уравнений ИМЕЮЩУЮ единственное решение, то есть у стола имеется единственное устойчивое положение.
На самом деле ВСЕ ТРЕНОГИ УСТОЙЧИВЫ, именно по этому их так часто используют в технике, особенно военной.
Кратчайший путь в пространстве
Комната имеет размеры 30 метров в длину, 12 в ширину и 12 в высоту. Посредине одной из меньших боковых стен на расстоянии 1 м. от потолка сидит паук. Посредине противоположной стороны на расстоянии 11 м. от потолка сидит муха. Паук проползает весь путь до мухи и хватает её. Требуется найти кратчайший путь для паука.
Чтобы решить эту задачу, нужно вырезать из бумаги развертку и сложить из неё пропорционально уменьшенную модель комнаты. Это можно сделать несколькими способами. Если развернуть модель на плоскость, можно соединить прямолинейным отрезком (целиком умещающимся на листе бумаги) точки, в которых сидят паук и муха, — это и будет кратчайший путь между двумя рассматриваемыми точками. Таким образом, задача сводится к вырезанию из бумаги подходящей развертки
Ответ на поставленный вопрос дает рисунок, где прямоугольник A изображает пол, O — потолок, B и D — длинные боковые стены, а точки W и F — начальные положения паука и мухи на коротких боковых стенах. Квадрат расстояния между точками W и F равен 32^2+24^2. Значит, само это расстояние составляет 40 метров.
Квадрат внутри квадрата
Аналитическое решение задачи конечно возможно, но оно не будет столь быстрым. На самом деле по теореме о противолежащих углах легко увидеть что на противоположных сторонах квадрата треугольник дополняет урезанный квадрат (раскрашенный рисунок),
поэтому состыковывая недостающие элементы получим
пять полных квадратов, то есть площадь малого квадрата составляет 1/5 площади исходного.
На самом деле принцип дополнения или «избытка — нехватки» встречается достаточно часто, просто в случае геометрических фигур он наиболее нагляден и строго доказуем. Поэтому при анализе «разбросанных» данных всегда стоит попробовать сгруппировать все совместимые/однородные данные и сравнить такие группы не только между собой, но и по отношению к исходному множеству данных.
Чёрный юмор на обед
Папа, мама и старшие сестры ужинают, а младший брат Васенька сидит под столом и пилит ножку стола со скоростью 3 см в минуту. Через сколько минут закончится ужин, если толщина ножки стола 9 см?
Если отдалиться от провокационного смысла задачи, то наиболее правильным ответом будет: неизвестно. Это обусловлено тем, что нам неизвестна геометрическая форма ножки и полные размеры этой формы, равно как и направление распила (сечения) по отношению к этой форме, особенно если распил не строго горизонтальный. Но даже для горизонтального сечения и простейшей формы — квадрата, остаётся вопрос к чему относится упомянутый термин «толщина»: к длине стороны или диагонали? А также направление распила: параллельно стороне или перпендикулярно диагонали?
И только если предположить, что ножка — это округлый цилиндр, мы можем поделить диаметр 9 на 3, получив ответ: за 3 минуты. Так что хоть задача и звучит глупо, она показывает, что для её строгого решения информации из описания недостаточно.
Комментарии
Отправить комментарий